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作者 : ozzy123(ozzy) 資訊類作業求救卓越專家C++卓越專家貼文超過4000則人氣指數超過30000點
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2013/5/19 下午 11:26:46
Assume function f is a map from non-negative real numbers set to non-negative real numbers set , find all f that satisfy following conditions :
1. for any two non-negative real numbers x, y , f(x(f(y)))f(y)= f(x+y)
2. f(2) = 0
3. f(x) ≠ 2 , x ∈ [0,2)
作者 : esmass(ES-Mass)
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2014/1/30 下午 05:49:01
I.
f(x) = f(x+0) = f(0)f(x)
If exist x such that f(x) ≠ 0, then f(0) = 1

II.
If f(x) = 0, f(x+a) = f(a(f(x)))f(x) = 0 for all a >= 0.
Let k be the largest value satisfying f(k) ≠ 0, then
f(x) ≠ 0 for 0 <= x <= k
f(x) = 0 for x > k
from condition 1, we know that k < 2.

III.
Let 0 <= x <= k < m
f(m) = f((m-x)f(x))f(x) = 0
Since f(x) ≠ 0, f((m-x)f(x)) = 0
Since f(x) = 0 only when x > k
(m-x)f(x) > k
f(x) > k/(m-x) for 0 <= x <= k < m

IV.
Let 0 <= x <= k
f(k) = f((k-x)f(x))f(x) ≠ 0
f((k-x)f(x)) ≠ 0 and f(x) ≠ 0
Since f(x) ≠ 0 only when 0 <= x <= k
0 <= (k-x)f(x) <= k
If k ≠ 0, then
0 <= f(x) <= k/(k-x) for 0 <= x < k

V.
Combine II and III
If k ≠ 0, then
k/(m-x) < f(x) <= k/(k-x) for 0 <= x < k < m
Since m can arbitrarily close to k, we have
f(x) = k/(k-x) for 0 <= x < k

VI.
From V, if k ≠ 0, then f(k/2) = 2 and k < 2, which violate condition 3.
So k must be 0, which means f(x) ≠ 0 only at x = 0.
From I. f(0) can only be 1 or 0, so the answer is

f(x) = 0

or

f(0) = 1
f(x) = 0 for x ≠ 0
 板主 : 小朱
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