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what is the function ?
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作者 : ozzy123() 資訊類作業求救卓越專家C++卓越專家貼文超過4000則人氣指數超過30000點
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2013/5/4 上午 11:26:39
Suppose there exists a function f and it is a one-one over positive integers . The followings are its property :

i. f(2) = 2
ii. For all positive integers m and n , it satisfies f(mn) = f(m)f(n)
iii. if m > n , f(m) > f(n) holds
iv . f(2013) = ? please give a reasonable proof.
作者 : windknief(風刃)
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2013/6/6 上午 09:25:11
sorry, I can't prove it.
I think the result of f(2013) is 2013.
作者 : turing(Alan)
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2013/6/6 下午 07:54:26
對主修數學者而言,難不高。

有趣的一點是,我在懷疑iii.是否必要條件?

再多想,似乎是必要的。

在正有理數或正實數時,iii.可能是不必要。
作者 : ozzy123(ozzy) 資訊類作業求救卓越專家C++卓越專家貼文超過4000則人氣指數超過30000點
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2013/6/7 下午 02:56:59
why ?

>
>有趣的一點是,我在懷疑iii.是否必要條件?
>
>再多想,似乎是必要的。
>
>在正有理數或正實數時,iii.可能是不必要。
作者 : esmass(ES-Mass)
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2014/1/25 上午 12:27:03
f(x) = x, satisfies all conditions, so f(2013) = 2013 is a solution for this problem. Since the problem did not ask for all possible solutions, one is enough.
作者 : ozzy123(ozzy) 資訊類作業求救卓越專家C++卓越專家貼文超過4000則人氣指數超過30000點
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2014/1/25 下午 11:05:16
if so , how to prove it ?
作者 : esmass(ES-Mass)
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2014/1/30 下午 03:33:41
I.
If f(x) > x for some integer x , then
f(x+1) > f(x) >= x+1
f(x+2) > f(x+1) >= x+2
...
f(n) > n for all integer n >= x

II.
If f(x) < x for some integer x, then
f(x-1) < f(x) <= x-1
f(x-2) < f(x-1) <= x-2
...
f(n) < n for all integer n <= x

III.
From I and II, if f(m) = m, f(n) = n and m < n, then
f(x) = x for all integer x in [m,n].

IV.
f(2) = 2;
f(2^2) = f(2)*f(2) = 4
...
f(2^n) = 2^n for all integer n >= 1

V.
From IV, f(1024) = 1024, f(2048) = 2048
From III, f(2013) = 2013
 板主 : 小朱
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